MATERIA: ALGEBRA SUPERIOR

 

PRIMER AÑO

 

Ciclo Escolar 2003/2004

Hrs. Semana: 3

 

Total de Horas por año: 84

Objetivo: Que el estudiante comprenda y aplique los conceptos de: Desigualdades, Números Complejos, Polinomios, Fracciones Parciales, Sistemas de Ecuaciones Lineales, Matrices, Progresiones y Series a problemas relacionados a la Ingeniería Eléctrica.

Recomendaciones: En cada uno de los temas se recomienda realizar un número adecuado de ejemplos y en lo posible relacionados con la Ingeniería, así mismo se deberán realizar las demostraciones de los teoremas más importantes.

 

Bibliografía:

 

Libros de Texto:

 

1.- Precálculo

     Michel Sullivan

     Cuarta Edición

     Ed. Prentice Hall

 

2.- Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica

     Walter Fleming

     Tercera Edición

     Prentice Hall

 

Libros de Consulta:

 

3.- Algebra

     Max A. Sobel

     Segunda Edición

     Prentice Hall

 

4.- Algebra con Aplicaciones Técnicas

     C. E. Goodson

     S. L. Miertschin

     Ed. Limusa

 

5.- Algebra Superior

     Louis Leithold

     Ed. Noriega

 

6.- Algebra Elemental

    Gordon Fuller

     Ed. CECSA

 

7.- Cálculo con Geometría Analítica

     Edwin J. Prcell

     Dale Varberg

     Prentice Hall

 

8.- Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

     Antonio Nieves

     Federico C. Domínguez 

     CECSA

 

Programa Sintético

 

1.- Desigualdades  …………………………………………………………….12 Hrs.

2.- Números Complejos …………………………………………………………  9 Hrs.

3.- Polinomios ………………………………………………………….............. 12 Hrs.

4.- Fracciones Parciales …………………………………………………………  7 Hrs.

5.- Sistemas de Ecuaciones Lineales, Matrices y Determinantes………..............22 Hrs.

7.- Progresiones y Series   ……………………………………………………….10 Hrs.

                                                                               Total Teoría …………………72 Hrs.

Exámenes de Academia……………………….…………………………………12 HRs.

                                                                               Total                                         84 HRs.

 

Programa Desarrollado

 

1.- Desigualdades

1.1 La recta numérica, orden en los reales.

1.2 Definición de desigualdad entre dos números reales.

1.3 Intervalos.

1.3.1 Definición.

1.3.2 Tipos y equivalencia con las desigualdades.

1.4 Propiedades de las desigualdades.

1.5 Valor Absoluto.

1.6.1 Definiciones equivalentes.

1.6.2 Propiedades.

1.6 Teoremas sobre la solución de desigualdades.

1.7 Solución de desigualdades.

1.7.1 Desigualdades entre polinomios.

1.7.1.1 Desigualdades lineales.

1.7.1.2 Desigualdades cuadráticas.

1.7.1.3 Desigualdades con polinomios de grado superior.

1.7.2 Desigualdades entre fracciones racionales.

1.7.3 Desigualdades que involucran valor absoluto.

1.7.4 Factores con raíces complejas en una desigualdad.

1.8 Sistemas de desigualdades.

1.8.1 Caso lineal. Solución gráfica y analítica.

1.8.2 Caso no lineal. Solución gráfica.

 

1er Exámen Parcial (2 Hrs.)

 

 

2.- Números Complejos

2.1 Definición.

2.1.1 Potencias de la base imaginaria j.

2.2 Operaciones Elementales.

2.2.1 Igualdad entre dos números complejos.

2.2.2 Suma y diferencia.

2.2.3 Producto.

2.2.4 Multiplicación por un número real.

2.3 Representación geométrica de un número complejo.

2.3.1 Forma polar, periodicidad

2.3.2 Interpretación geométrica de la suma

2.4 Números complejos conjugados

2.4.1 Propiedades del conjugado

2.4.2 División de números complejos.

2.4.3 El módulo de un número complejo.

2.5 Forma Exponencial de un número complejo (Forma de Euler).

2.6 Producto y división de números complejos (Forma polar y exponencial).

2.6.1 Interpretación geométrica del producto.

2.6.2 La multiplicación por potencias de j.

2.7 Fórmula de De Moivre.

2.8 Aplicaciones.

2.8.1 Solución de circuitos simples de corriente alterna (Impedancia equivalente  serie y paralelo, etc).

2.8.2 Raíces de números complejos

 

2do Exámen Parcial (2 Hrs.)

 

 

3.- Polinomios  

3.1 Definición general de un polinomio.

3.1.1 Comportamiento extremo de un polinomio.

3.1.2 Definición de raíces o ceros y su interpretación geométrica.

3.1.3 La función cuadrática y sus aplicaciones.

3.2 División de polinomios.

3.2.1 Algoritmo de la división.

3.2.2 División sintética.

3.3 Teorema del residuo.

3.4 Teorema del factor.

3.5 Métodos para determinar las raíces de un polinomio.

3.5.1 Teorema sobre las raíces racionales.

3.5.2 Regla de Descartes.

3.5.3 Teorema sobre las raíces reales de un polinomio.

3.5.4 Teorema fundamental del álgebra.

3.5.5 Teorema sobre las raíces complejas. 

3.5.6 Factorización completa de un polinomio.

3.6 Métodos aproximados para determinar las raíces reales y complejas de un polinomio.

3.6.1 Transformación de las raíces de un polinomio.

3.6.2 Método de Horner.

3.6.3 Método de Newton-Raphson.

3.6.4 Método de Bairstrow.

3.7 Interpolación de una función por medio de un polinomio.

3.7.1 Fórmula de Lagrange.

3.7.2 Fórmula de Newton.

 

3er Exámen Parcial (2 Hrs.)

 

 

4.- Fracciones Parciales .

4.1 Funciones racionales, definición y clasificación.

4.2 Teorema sobre la descomposición de una función racional en fracciones simples.

4.3 Sistematización del procedimiento para la descomposición de una función racional

4.3.1 Caso I: Factores Lineales no repetidos.

4.3.1.1 Solución por sustitución.

4.3.1.2 Solución por igualación de coeficientes.

4.3.1.3 Fórmula de Heaviside.

4.3.2 Caso II: Factores Lineales distintos.

4.3.2.1 Solución por sustitución.

4.3.2.2 Solución por igualación de coeficientes.

4.3.2.3 Fórmula de Heaviside.

4.3.3 Caso III: Factores Cuadráticos distintos.

4.3.3.1 Solución por combinación de los métodos de sustitución e igualación de coeficientes.

4.3.4 Caso IV: Factores Cuadráticos repetidos.

4.3.4.1 Solución por igualación de coeficientes.

 

4to Exámen Parcial (2 Hrs.)

 

 

5.- Sistemas de Ecuaciones Lineales  matrices y determinantes

5.1 Definición de una ecuación lineal.

5.1.1. Conjunto solución.

5.2 Clasificación de la solución de una ecuación lineal.

5.3 Sistemas de ecuaciones lineales.

5.3.1 Definición.

5.3.2 Interpretación gráfica para sistemas de orden 2.

5.3.3 Clasificación de la solución.

5.4 Definición de matriz

5.4.1 Definiciones (filas, columnas, tamaño u orden, elemento aij, matriz cuadrada, matriz triangular, matriz diagonal).

5.5 Representación matricial usando la matriz aumentada

 

5.6 Operaciones elementales de la matriz aumentada entre renglones

5.7 Solución de sistemas de ecuaciones de orden 3 y 4 usando matriz aumentada

5.8 Métodos de eliminación.

5.8.1 Gaussiana.

5.8.2 Gauss-Jordan.  

5.9 Sistemas homogéneos.

5.9.1 Tipos de solución.

 

5to  Examen de Academia

 

5.10 Operaciones elementales con matrices

5.10.1 Igualdad entra matrices.

5.10.2 Suma.

5.10.3 Multiplicación de una matriz por un escalar.

5.10.4 Multiplicación de matrices.

5.11 Representación matricial de un sistema de ecuaciones usando la forma Ax=b

5.12 Reglas de la aritmética matricial.

5.12.1 Propiedades de la suma el producto y el cero.

5.13 Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

5.14 La matriz inversa.

5.14.1 Matriz identidad y sus propiedades.

5.14.2 Definición de matriz inversa ( Matriz singular).

5.14.3 Teoremas relativos a la matriz inversa.

5.14.4 Matrices elementales y método para calcular la inversa.

5.15 Solución de un sistema de ecuaciones lineales por medio de la matriz inversa.

5.16 Matriz transpuesta y sus propiedades.

5.17 Determinantes, definición (en términos de permutaciones e inversiones).

5.17.1 Esquema de cálculo para determinantes de orden 2 y 3.

5.17.2 Propiedades de los determinantes.

5.17.3 Determinantes de la matriz transpuesta.

5.17.4 Determinante de una matriz triangular.

5.17.5 Cálculo de determinantes de orden superior, por operaciones elementales entre    

           filas y columnas.

    5.17.6 Teoremas relativos a determinantes

5.18 Matriz adjunta y su relación con la matriz inversa (Método de Cofactores).

5.19 La regla de Cramer.

5.20 Métodos iterativos de solución.

5.20.1 Método Gauss-Seidel.

5.20.2 Método de Jacobi-Seidel.

 

6to Exámen Parcial (2 Hrs.)

 

 

6.- Progresiones y Series  

6.1 Definición de progresión.

6.1.1 Progresión aritmética.

6.1.2 último término y suma de una programación aritmética.

6.1.3 Medias aritméticas.

6.1.4 Progresiones geométricas.

6.1.5 Medias Armónicas.

6.1.6 Progresión Armónica.

6.2 Definición de serie.

6.2.1 Condición necesaria para la convergencia.

6.3 Criterios de convergencia.

6.3.1 Comparación de series con términos positivos.

6.3.2 Criterio de D'Alambert.

6.3.3 Criterio de Cauchy.

6.3.4 Criterio integral.

6.3.5 Convergencia absoluta y condicional.

6.4 Series de potencias.

6.4.1 Intervalos de convergencia.

6.4.2 Derivación de series.

6.4.3 Series de Taylor y Maclaurin.

6.4.4 Desarrollo de funciones en series.

6.5 Serie binomial.

6.6 Aplicación de series al cálculo de integrales definidas.

 

Última revisión Agosto 2003.