MATERIA: MATEMATICAS I

 

PRIMER AÑO

 

Ciclo Escolar 2000/2001

Hrs. Semana: 6

Objetivo: Adquirir la indispensable y fundamental habilidad para el manejo de ésta herramienta básica e imprescindible en distintas áreas de la Ingeniería, a través del análisis teórico detallado de cada uno de los conceptos matemáticos que se presentan a lo largo del curso:

 

Bibliografía

 

1.‑Cálculo

    Larson \Hostetler \Edwards.

 

2.‑Notas de Matemáticas.

    Pedro Ferreira Herrejón.

 

3.‑Cálculo con Geometría Analítica.

    Edwards \Penny.

    Prentice Hall.

 

4.‑Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático.

    B. Demidovich.

    Mir.

 

5.- El Cálculo con Geometría Análitica.

    Louis Leithold.

 

Programa Sintético.

 

1.‑Funciones.............................................................................................................................. 25 Hrs.

2.‑Límites................................................................................................................................. 12 Hrs.

3.‑Derivación............................................................................................................................. 21 Hrs.

4.‑Aplicaciones de la derivada. Diferenciales................................................................................. 22 Hrs.

5.‑El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones........................................................................ 16 Hrs.

6.‑Integral Indefinida.................................................................................................................. 35 Hrs.

7.‑Integral Definida y Aplicaciones.............................................................................................. 34 Hrs.

Total de Horas Mínimas Anuales........................................................................................... 165 Hrs.

 

Programa Desarrollado.

 

CAPITULO 1.‑Funciones.

 

1.1 El sistema de Números reales.

Describir su formación y evolución (comenzando con los enteros naturales y finalizando en los números complejos), sus propiedades (cerradura, asociativa, inverso, etc.)............................................... Tiempo Est.: 1 hr.

 

 

 

1.2. La recta numérica, desigualdades, intervalos y valor absoluto.

Las desigualdades se analizan con detalle en un capítulo completo en Algebra Superior; pero por razones de necesidad conviene una breve introducción al tema sobre todo porque es necesario para determinar el dominio y rango de una función matemática.................................................................................................................... Tiempo Est.: 5 hrs.

1.2.1. La recta numérica, orden en los reales.

1.2.2. Definición de desigualdad entre dos números reales.

1.2.3. Intervalos, equivalencia con las desigualdades.

1.2.4. Propiedades de las desigualdades.

1.2.5. Valor absoluto, definiciones equivalentes y propiedades.

1.2.6. Ejemplos de solución de desigualdades entre:

i) Polinomios     ii) Razones de polinomios           iii) Valor absoluto

1.3. Variables y constantes. Definición y clasificación..................................................... Tiempo Est. 1 hr.

1.4. Definición de función

Considerar la definición de una función de una variable tanto como una asociación de valores entre variables, como una relación especial entre conjuntos.................................................................................. Tiempo Est. 4 hrs.

1.5. Dominio y rango de una función............................................................................ Tiempo Est. 1 hr.

1.6. Definiciones especiales de funciones.

Relación entre simetría y paridad de una función. Período de una función periódica. ...... Tiempo Est. 2 hrs.

6.1. Función par.

1.6.2. Función impar.

1.6.3. Función periódica.

1.6.4. Función creciente.

1.6.5. Función decreciente.

1.7. Operación con funciones...................................................................................... Tiempo Est. 2 hrs.

1.7.1 Operaciones algebraicas entre funciones.

1.7.2.Composición de funciones.

1.8. La función inversa................................................................................................ Tiempo Est. 1 hr.

1.8.1. Definición de función inversa.

1.8.2. Procedimiento para determinar la función inversa de una función algebraica.

1.8.3. Simetría entre una función y su inversa.

1.9. Clasificación de funciones.................................................................................... Tiempo Est. 8 hrs.

1.9.1. Funciones algebraicas

1.9.1.1. a) Definición general de polinomio. Dominio y rango.

1.9.1.1. b) Función lineal. Rectas paralelas. Rectas perpendiculares.

1.9.1.1. c) Función cuadrática. Interceptos, simetría, vértice.

1.9.1.1. d) Parábola cúbica.

1.9.1.1. e) Comportamiento general de un polinomio.

1.9.1.2. Funciones racionales. Funciones propias e impropias.

1.9.1.3. Funciones irracionales.

 

 

 

 

1.9.2. Funciones trascendentes.

1.9.2.1. Función potencia.

1.9.2.2. Función exponencial.

1.9.2.3. Función logaritmo. (Propiedades fundamentales)

1.9.2.4. Funciones trigonométricas. (identidades inversas)

                        1.9.2.5. Funciones trigonométricas inversas (identidades inversa)

Total de Tiempo para el capítulo 1: 25 hrs

CAPITULO II LIMITES

 

2.1 Definición de una sucesión y sucesiones infinitas...................................................... Tiempo Est. 1 hr.

2.1.1. Término n-ésimo de una sucesión.

2.1.2. Ejemplos de sucesiones infinitas que se aproximan o no a una cantidad límite.

2.1.3. Definición del límite de una sucesión. Ejemplos.

2.2. Definición del límite de una función...................................................................... Tiempo Est. 2 hrs.

2.2.1. Ilustración de la definición con uno o más ejemplos.

2.2.2. Observaciones:

i) El límite puede no ser parte del dominio.

ii) Límite de una constante.

iii) Una función no puede tener dos límites simultáneos

iv) Límites "por la izquierda"

v) Límites "por la derecha"

2.2.3. Definición de límites infinitos Ejemplos.

2.3. Teoremas sobre límites........................................................................................ Tiempo Est. 2 hrs.

El límite de una suma, producto, cociente o potencia de funciones. (Incluir al menos una demostración, y señalar cuando no se pueden utilizar estos teoremas para calcular un limite)

2.4. Dos importantísimos límites................................................................................. Tiempo Est. 2 hrs.

Demostrar los límites que sirven de base para desarrollo del cálculo diferencial e integral:

lim (sen(x)/x) = 1                                   lim (1 + 1/x)  = e

x   0                                                                  x   0 y dar ejemplos ilustrativos

2.5. Cálculo de límites indeterminados......................................................................... Tiempo Est. 3 hrs.

2.5.1. Límite de una función racional.

i) Sin raíces comunes.

ii) Con raíces comunes.

2.5.2. Límite de una función irracional

2.5.3. Límite de una función con exponente funcional

2.6. Continuidad de las funciones................................................................................ Tiempo Est. 2 hrs.

2.6.1. Definición de incrementos.

2.6.2. Definición de continuidad de una función en el punto.

2.6.3. Función acotada y propiedades de las funciones continuas.

Total de Tiempo para el Capítulo II   12 hrs.

 

 

 

 

 

CAPITULO III DERIVACION

 

3.1. Introducción al concepto de derivada de una función............................................... Tiempo Est. 1 hr.

3.2. Definición de derivada de una función de una variable............................................ Tiempo Est. 2 hrs.

3.2.1. Regla general de derivación. Ejemplos.

3.2.2. Interpretación geométrica de la derivada. Ejemplos.

3.3. Fórmulas inmediatas de derivación........................................................................ Tiempo Est. 3 hrs.

Demostración de la derivada de:

i) una constante.

ii) la función idéntica f(x) = x

iii) una suma algebraica de funciones.

iv) el producto de dos funciones.

vi) una función compuesta

vii) una función inversa

viii) el logaritmo de una función

ix) una función potencia

x) una función exponencial

xi) una función con exponente funcional

xii) las funciones trigonométricas

xiii) las funciones trigonométricas inversas

3.4. Ejemplos de derivación de funciones elementales................................................... Tiempo Est. 4 hrs.

3.5. Funciones implícitas y su derivación....................................................................... Tiempo Est. 1 hr.

3.6. Funciones paramétricas........................................................................................ Tiempo Est. 3 hrs.

3.6.1. Definición de función paramétrica.

3.6.2. Ejemplos, círculo, elipse, parábola, astroide, cicloide, cardioide

3.6.3. Derivación de una función paramétrica.

3.7. Funciones polares................................................................................................ Tiempo Est. 3 hrs.

3.7.1. Coordenadas polares planas.

3.7.2. Ecuación polar de una cónica y otras curvas polares (espira, etc)

3.7.3. Derivada del radio vector respecto al ángulo polar.

3.8. Derivadas de orden superior................................................................................. Tiempo Est. 4 hrs.

3.8.1. Definición

3.8.2. La fórmula de Leibniz

3.8.3. Derivadas superiores de funciones implícitas y paramétricas

Total de Tiempo del capítulo III      21 hrs.

 

CAPITULO IV APLICACIONES DE LA DERIVADA. DIFERENCIALES

 

4.1. Introducción. Algo sobre líneas rectas..................................................................... Tiempo Est. 1 hr.

4.1.1. Ecuaciones equivalentes de una línea recta (ec "dos puntos", ec. "punto-pendiente", etc.

"pendiente-intercepto", ec. "interceptos")

4.1.2. Pendiente de rectas perpendiculares. Demostración.

 

 

 

4.2. Cálculo de tangentes y normales a una curva......................................................... Tiempo Est. 5 hrs.

4.2.1. Ecuación de la tangente y normal (en coordenadas rectangulares y en coordenadas polares)

 

4.2.2. Longitudes de la subtangente y subnormal (en coordenadas rectangulares y en coordenadas polares)

4.2.3. Ejemplos en curvas rectangulares, paramétricas, implícitas y polares.

4.3. Angulo entre curvas.............................................................................................. Tiempo Est. 1 hr.

4.4. Diferencial de una función, interpretación geométrica............................................. Tiempo Est. 3 hrs.

4.4.1. Aplicación a cálculos aproximados.

4.4.2. Fórmulas inmediatas de diferenciación (diferenciales inmediatas)

4.4.3. Diferenciales de orden superior.

4.5. Máximos y mínimos de funciones......................................................................... Tiempo Est. 6 hrs.

4.5.1. Demostración de los teoremas relativos.

4.5.2. Primer criterio para determinar los valores extremos de una función.

4.5.3. Problemas de aplicación sobre máximos y mínimos.

4.6. Concavidad o convexidad de una curva. Puntos de inflexión................................... Tiempo Est. 3 hrs.

4.6.1. Segundo criterio para determinar los valores extremos de una función.

4.7. Asíntotas (verticales, oblicuas, horizontales).......................................................... Tiempo Est. 3 hrs.

Total de tiempo para el capítulo IV:     22 hrs.

 

CAPITULO V: EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y SUS APLICACIONES.

 

5.1. El teorema de Rolle.............................................................................................. Tiempo Est. 1 hr.

5.2. El teorema general de la media (Teorema de Cauchy)............................................ Tiempo Est. 4 hrs.

5.2.1. Demostración y ejemplos.

5.2.2. Teorema del valor medio (Teorema de Lagrange), como caso especial del teorema    de Cauchy.

5.3. El teorema extendido del valor medio.................................................................... Tiempo Est. 6 hrs.

5.3.1. Fórmula de Taylor.

5.3.2. Fórmula de MacLaurin. Ejemplos típicos (seno, coseno, exponencial)

5.4. Regla de L'Hospital para límites indeterminados..................................................... Tiempo Est. 5 hrs.

5.4.1. Demostración y precauciones

5.4.2. Cálculo de límites de las formas: 0oo, 0o, ooo, 1oo, (oo - oo)

Tiempo Estimado para el capítulo V: 16 hrs.

 

CAPITULO VI: INTEGRAL INDEFINIDA.

 

6.1. Definición y propiedades de la integral indefinida..................................................... Tiempo Est. 1 hr.

6.2 Reglas elementales de integración.......................................................................... Tiempo Est. 2 hrs.

6.2.1 Integración indefinida de una suma de funciones

6.2.2 Integral indefinida de constante por función

6.2.3 Transformación lineal del argumento de integración. Demostración y ejemplos

 

 

6.3 Tabla de integrales indefinidas inmediatas............................................................... Tiempo Est. 4 hrs.

6.3.1 Demostraciones (Algunas)

6.3.2 Ejercicios que ilustren todas las fórmulas de integración inmediata

6.4 Técnicas de integración....                                                                                    Tiempo Est. 24 hrs.

6.4.1 Por substitución o cambio de variable

6.4.2 De funciones que contienen un trinomio de segundo grado

6.4.3 Por partes

6.4.3.a) Algunas fórmulas de reducción.

6.4.4 De funciones racionales.

a) Descomposición de una función racional propia en una suma de fracciones simples.

b) Ejemplos de integración (factores lineales, cuadráticos)

6.4.5 Por racionalización de algunas funciones irracionales

a) Funciones del tipo: R(X, X (m/h) , ....., X (t/r) )

6.4.7 Por substitución trigonométrica.

6.7.8 Por substitución diversas

6.7.9 Integrales que generan funciones especiales.

6.5 Algunas aplicaciones de la integral indefinida......                                                      Tiempo Est. 4 hrs.

6.5.1 Familias de curvas

6.5.2 Diversas aplicaciones, (biología, física, ingeniería)

Tiempo total del capítulo VI: 35 hrs.

 

CAPITULO VII: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES.

 

7.1 Planteamiento y definición de una integral definida                                          .........Tiempo Est. 6 hrs.

7.1.1 Suma integral inferior, suma integral superior, suma integral y relación entre ellas.

7.1.2 Definición de una integral definida e interpretación geométrica.

7.1.3. Ejemplos de cálculo de integral definida considerada como el límite de una suma integral ( f(x) = c, f(x)= x, f(x) = x2 , f(x) = x3, f(x)= ex)

7.2 Propiedades básicas de la integral definida.............................................................. Tiempo Est. 4 hrs.

7.2.1 Integral de una constante por una función

7.2.2 Integral de una suma algebraica de funciones

7.2.3 Partición del intervalo de integración

7.2.4 Teorema del valor medio para integrales definidas

7.2.5 Derivada de una integral definida respecto a su límite superior

7.2.6 Teorema fundamental del cálculo integral (fórmula de Newton-Leibniz)

7.3 Ejemplos de integración definida por medio de integración indefinida.. (1 hr)

7.4 Integración aproximada ..........................                                                               Tiempo est. 3 hrs.

7.4.1 Método de los trapecios.

7.4.2 Método de Simpson.

7.5 Integrales impropias

7.6 Aplicaciones geométricas de la integral definida

7.6.1 Cálculo de áreas limitadas por curvas (paramétricas, rectangulares  y polares)

 

 

7.6.2 Longitud de una curva (paramétrica, rectangular, polar)

7.6.3 Volúmenes de revolución

7.6.4 Volúmenes de sección uniforme

7.6.5 Superficies de revolución

 

7.7 Aplicaciones físicas de la integral definida .............                                                  Tiempo Est. 6 hrs.

7.7.1 Centro de gravedad de sólidos de revolución y superficies uniformes

7.7.2 Presión de líquidos

7.7.3 Trabajo

7.7.4 Momentos de inercia.

Tiempo total del capítulo VII: 34 hrs.