MATERIA: MATEMATICAS I
PRIMER AÑO
Ciclo Escolar 2000/2001
Hrs. Semana: 6
Objetivo: Adquirir la indispensable y fundamental habilidad para el
manejo de ésta herramienta básica e imprescindible en distintas áreas de la
Ingeniería, a través del análisis teórico detallado de cada uno de los
conceptos matemáticos que se presentan a lo largo del curso:
Bibliografía
1.‑Cálculo
Larson
\Hostetler \Edwards.
2.‑Notas de Matemáticas.
Pedro Ferreira
Herrejón.
3.‑Cálculo con Geometría Analítica.
Edwards \Penny.
Prentice Hall.
4.‑Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático.
B. Demidovich.
Mir.
5.- El Cálculo con Geometría Análitica.
Louis
Leithold.
Programa
Sintético.
1.‑Funciones.............................................................................................................................. 25
Hrs.
2.‑Límites................................................................................................................................. 12
Hrs.
3.‑Derivación............................................................................................................................. 21
Hrs.
4.‑Aplicaciones
de la derivada. Diferenciales................................................................................. 22
Hrs.
5.‑El
Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones........................................................................ 16
Hrs.
6.‑Integral
Indefinida.................................................................................................................. 35
Hrs.
7.‑Integral
Definida y Aplicaciones.............................................................................................. 34
Hrs.
Total de Horas Mínimas Anuales........................................................................................... 165
Hrs.
Programa
Desarrollado.
CAPITULO
1.‑Funciones.
1.1 El sistema de Números reales.
Describir
su formación y evolución (comenzando con los enteros naturales y finalizando en
los números complejos), sus propiedades (cerradura, asociativa, inverso, etc.)............................................... Tiempo
Est.: 1 hr.
1.2. La
recta numérica, desigualdades, intervalos y valor absoluto.
Las desigualdades se analizan con detalle en un capítulo completo en Algebra Superior; pero por razones de necesidad conviene una breve introducción al tema sobre todo porque es necesario para determinar el dominio y rango de una función matemática.................................................................................................................... Tiempo Est.: 5 hrs.
1.2.1.
La recta numérica, orden en los reales.
1.2.2.
Definición de desigualdad entre dos números reales.
1.2.3.
Intervalos, equivalencia con las desigualdades.
1.2.4.
Propiedades de las desigualdades.
1.2.5.
Valor absoluto, definiciones equivalentes y propiedades.
1.2.6.
Ejemplos de solución de desigualdades entre:
i)
Polinomios ii) Razones de polinomios iii) Valor absoluto
1.3.
Variables y constantes. Definición y clasificación..................................................... Tiempo
Est. 1 hr.
1.4.
Definición de función
Considerar
la definición de una función de una variable tanto como una asociación de
valores entre variables, como una relación especial entre conjuntos.................................................................................. Tiempo
Est. 4 hrs.
1.5.
Dominio y rango de una función............................................................................ Tiempo
Est. 1 hr.
1.6.
Definiciones especiales de funciones.
Relación
entre simetría y paridad de una función. Período de una función periódica. ...... Tiempo Est. 2 hrs.
6.1.
Función par.
1.6.2.
Función impar.
1.6.3.
Función periódica.
1.6.4.
Función creciente.
1.6.5.
Función decreciente.
1.7.
Operación con funciones...................................................................................... Tiempo
Est. 2 hrs.
1.7.1
Operaciones algebraicas entre funciones.
1.7.2.Composición
de funciones.
1.8. La
función inversa................................................................................................ Tiempo
Est. 1 hr.
1.8.1.
Definición de función inversa.
1.8.2. Procedimiento para determinar la función inversa de una función algebraica.
1.8.3.
Simetría entre una función y su inversa.
1.9.
Clasificación de funciones.................................................................................... Tiempo
Est. 8 hrs.
1.9.1.
Funciones algebraicas
1.9.1.1.
a) Definición general de polinomio. Dominio y rango.
1.9.1.1.
b) Función lineal. Rectas paralelas. Rectas perpendiculares.
1.9.1.1.
c) Función cuadrática. Interceptos, simetría, vértice.
1.9.1.1.
d) Parábola cúbica.
1.9.1.1.
e) Comportamiento general de un polinomio.
1.9.1.2.
Funciones racionales. Funciones propias e impropias.
1.9.1.3.
Funciones irracionales.
1.9.2.
Funciones trascendentes.
1.9.2.1.
Función potencia.
1.9.2.2.
Función exponencial.
1.9.2.3.
Función logaritmo. (Propiedades fundamentales)
1.9.2.4.
Funciones trigonométricas. (identidades inversas)
1.9.2.5.
Funciones trigonométricas inversas (identidades inversa)
Total
de Tiempo para el capítulo 1: 25 hrs
CAPITULO II LIMITES
2.1
Definición de una sucesión y sucesiones infinitas...................................................... Tiempo
Est. 1 hr.
2.1.1.
Término n-ésimo de una sucesión.
2.1.2. Ejemplos de sucesiones infinitas que se aproximan o no a una cantidad límite.
2.1.3.
Definición del límite de una sucesión. Ejemplos.
2.2.
Definición del límite de una función...................................................................... Tiempo
Est. 2 hrs.
2.2.1.
Ilustración de la definición con uno o más ejemplos.
2.2.2.
Observaciones:
i) El
límite puede no ser parte del dominio.
ii)
Límite de una constante.
iii)
Una función no puede tener dos límites simultáneos
iv)
Límites "por la izquierda"
v)
Límites "por la derecha"
2.2.3.
Definición de límites infinitos Ejemplos.
2.3. Teoremas
sobre límites........................................................................................ Tiempo
Est. 2 hrs.
El
límite de una suma, producto, cociente o potencia de funciones. (Incluir al
menos una demostración, y señalar cuando no se pueden utilizar estos teoremas
para calcular un limite)
2.4.
Dos importantísimos límites................................................................................. Tiempo
Est. 2 hrs.
Demostrar
los límites que sirven de base para desarrollo del cálculo diferencial e
integral:
lim (sen(x)/x) =
1 lim (1
+ 1/x) = e
x 0 x 0 y dar ejemplos ilustrativos
2.5.
Cálculo de límites indeterminados......................................................................... Tiempo
Est. 3 hrs.
2.5.1.
Límite de una función racional.
i) Sin
raíces comunes.
ii) Con
raíces comunes.
2.5.2.
Límite de una función irracional
2.5.3.
Límite de una función con exponente funcional
2.6.
Continuidad de las funciones................................................................................ Tiempo
Est. 2 hrs.
2.6.1.
Definición de incrementos.
2.6.2.
Definición de continuidad de una función en el punto.
2.6.3.
Función acotada y propiedades de las funciones continuas.
Total
de Tiempo para el Capítulo II 12 hrs.
CAPITULO III DERIVACION
3.1.
Introducción al concepto de derivada de una función............................................... Tiempo Est. 1
hr.
3.2.
Definición de derivada de una función de una variable............................................ Tiempo Est. 2 hrs.
3.2.1.
Regla general de derivación. Ejemplos.
3.2.2.
Interpretación geométrica de la derivada. Ejemplos.
3.3.
Fórmulas inmediatas de derivación........................................................................ Tiempo
Est. 3 hrs.
Demostración
de la derivada de:
i) una
constante.
ii) la
función idéntica f(x) = x
iii)
una suma algebraica de funciones.
iv) el
producto de dos funciones.
vi) una
función compuesta
vii)
una función inversa
viii)
el logaritmo de una función
ix) una
función potencia
x) una
función exponencial
xi) una
función con exponente funcional
xii)
las funciones trigonométricas
xiii)
las funciones trigonométricas inversas
3.4.
Ejemplos de derivación de funciones elementales................................................... Tiempo
Est. 4 hrs.
3.5. Funciones
implícitas y su derivación....................................................................... Tiempo
Est. 1 hr.
3.6.
Funciones paramétricas........................................................................................ Tiempo
Est. 3 hrs.
3.6.1.
Definición de función paramétrica.
3.6.2.
Ejemplos, círculo, elipse, parábola, astroide, cicloide, cardioide
3.6.3.
Derivación de una función paramétrica.
3.7.
Funciones polares................................................................................................ Tiempo
Est. 3 hrs.
3.7.1.
Coordenadas polares planas.
3.7.2.
Ecuación polar de una cónica y otras curvas polares (espira, etc)
3.7.3.
Derivada del radio vector respecto al ángulo polar.
3.8.
Derivadas de orden superior................................................................................. Tiempo
Est. 4 hrs.
3.8.1.
Definición
3.8.2.
La fórmula de Leibniz
3.8.3.
Derivadas superiores de funciones implícitas y paramétricas
Total
de Tiempo del capítulo III 21 hrs.
CAPITULO IV APLICACIONES DE LA DERIVADA.
DIFERENCIALES
4.1.
Introducción. Algo sobre líneas rectas..................................................................... Tiempo
Est. 1 hr.
4.1.1.
Ecuaciones equivalentes de una línea recta (ec "dos puntos", ec.
"punto-pendiente", etc.
"pendiente-intercepto",
ec. "interceptos")
4.1.2.
Pendiente de rectas perpendiculares. Demostración.
4.2.
Cálculo de tangentes y normales a una curva......................................................... Tiempo
Est. 5 hrs.
4.2.1.
Ecuación de la tangente y normal (en coordenadas rectangulares y en coordenadas
polares)
4.2.2. Longitudes de la subtangente y subnormal (en coordenadas rectangulares y en coordenadas polares)
4.2.3.
Ejemplos en curvas rectangulares, paramétricas, implícitas y polares.
4.3.
Angulo entre curvas.............................................................................................. Tiempo
Est. 1 hr.
4.4.
Diferencial de una función, interpretación geométrica............................................. Tiempo Est. 3
hrs.
4.4.1.
Aplicación a cálculos aproximados.
4.4.2.
Fórmulas inmediatas de diferenciación (diferenciales inmediatas)
4.4.3.
Diferenciales de orden superior.
4.5.
Máximos y mínimos de funciones......................................................................... Tiempo
Est. 6 hrs.
4.5.1.
Demostración de los teoremas relativos.
4.5.2.
Primer criterio para determinar los valores extremos de una función.
4.5.3.
Problemas de aplicación sobre máximos y mínimos.
4.6.
Concavidad o convexidad de una curva. Puntos de inflexión................................... Tiempo
Est. 3 hrs.
4.6.1.
Segundo criterio para determinar los valores extremos de una función.
4.7.
Asíntotas (verticales, oblicuas, horizontales).......................................................... Tiempo
Est. 3 hrs.
Total
de tiempo para el capítulo IV: 22
hrs.
CAPITULO V: EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y SUS
APLICACIONES.
5.1. El
teorema de Rolle.............................................................................................. Tiempo
Est. 1 hr.
5.2. El
teorema general de la media (Teorema de Cauchy)............................................ Tiempo
Est. 4 hrs.
5.2.1.
Demostración y ejemplos.
5.2.2.
Teorema del valor medio (Teorema de Lagrange), como caso especial del teorema de Cauchy.
5.3. El
teorema extendido del valor medio.................................................................... Tiempo
Est. 6 hrs.
5.3.1.
Fórmula de Taylor.
5.3.2.
Fórmula de MacLaurin. Ejemplos típicos (seno, coseno, exponencial)
5.4.
Regla de L'Hospital para límites indeterminados..................................................... Tiempo
Est. 5 hrs.
5.4.1.
Demostración y precauciones
5.4.2.
Cálculo de límites de las formas: 0oo, 0o, ooo, 1oo, (oo - oo)
Tiempo
Estimado para el capítulo V: 16 hrs.
CAPITULO VI: INTEGRAL INDEFINIDA.
6.1.
Definición y propiedades de la integral
indefinida..................................................... Tiempo Est. 1 hr.
6.2
Reglas elementales de
integración.......................................................................... Tiempo Est. 2 hrs.
6.2.1
Integración indefinida de una suma de funciones
6.2.2
Integral indefinida de constante por función
6.2.3
Transformación lineal del argumento de integración. Demostración y ejemplos
6.3
Tabla de integrales indefinidas
inmediatas............................................................... Tiempo Est. 4 hrs.
6.3.1
Demostraciones (Algunas)
6.3.2 Ejercicios
que ilustren todas las fórmulas de integración inmediata
6.4
Técnicas de integración.... Tiempo
Est. 24 hrs.
6.4.1
Por substitución o cambio de variable
6.4.2
De funciones que contienen un trinomio de segundo grado
6.4.3
Por partes
6.4.3.a)
Algunas fórmulas de reducción.
6.4.4
De funciones racionales.
a)
Descomposición de una función racional propia en una suma de fracciones
simples.
b)
Ejemplos de integración (factores lineales, cuadráticos)
6.4.5
Por racionalización de algunas funciones irracionales
a)
Funciones del tipo: R(X, X (m/h) , ....., X (t/r) )
6.4.7
Por substitución trigonométrica.
6.7.8
Por substitución diversas
6.7.9
Integrales que generan funciones especiales.
6.5
Algunas aplicaciones de la integral indefinida...... Tiempo Est. 4 hrs.
6.5.1
Familias de curvas
6.5.2
Diversas aplicaciones, (biología, física, ingeniería)
Tiempo
total del capítulo VI: 35 hrs.
CAPITULO VII: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES.
7.1
Planteamiento y definición de una integral definida .........Tiempo Est. 6 hrs.
7.1.1
Suma integral inferior, suma integral superior, suma integral y relación entre
ellas.
7.1.2
Definición de una integral definida e interpretación geométrica.
7.1.3.
Ejemplos de cálculo de integral definida considerada como el límite de una suma
integral ( f(x) = c, f(x)= x, f(x) = x2 , f(x) = x3,
f(x)= ex)
7.2
Propiedades básicas de la integral definida.............................................................. Tiempo
Est. 4 hrs.
7.2.1
Integral de una constante por una función
7.2.2
Integral de una suma algebraica de funciones
7.2.3
Partición del intervalo de integración
7.2.4
Teorema del valor medio para integrales definidas
7.2.5
Derivada de una integral definida respecto a su límite superior
7.2.6
Teorema fundamental del cálculo integral (fórmula de Newton-Leibniz)
7.3
Ejemplos de integración definida por medio de integración indefinida.. (1 hr)
7.4
Integración aproximada .......................... Tiempo
est. 3 hrs.
7.4.1
Método de los trapecios.
7.4.2
Método de Simpson.
7.5
Integrales impropias
7.6
Aplicaciones geométricas de la integral definida
7.6.1
Cálculo de áreas limitadas por curvas (paramétricas, rectangulares y polares)
7.6.2
Longitud de una curva (paramétrica, rectangular, polar)
7.6.3
Volúmenes de revolución
7.6.4
Volúmenes de sección uniforme
7.6.5
Superficies de revolución
7.7
Aplicaciones físicas de la integral definida ............. Tiempo
Est. 6 hrs.
7.7.1
Centro de gravedad de sólidos de revolución y superficies uniformes
7.7.2
Presión de líquidos
7.7.3
Trabajo
7.7.4
Momentos de inercia.
Tiempo
total del capítulo VII: 34 hrs.